গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ:
$\frac{x^2}{p} + \frac{y^2}{5^2} = 1 \implies \frac{x^2}{p} + \frac{y^2}{25} = 1$

যেহেতু উপবৃত্তটি $(6, 4)$ বিন্দুগামী, তাই বিন্দুটি দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে:
$\frac{6^2}{p} + \frac{4^2}{25} = 1$
$\implies \frac{36}{p} + \frac{16}{25} = 1$
$\implies \frac{36}{p} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$
$\implies p = \frac{36 \times 25}{9} = 100$

সুতরাং, $p = 100$।

অতএব, উপবৃত্তটির সমীকরণ:
$\frac{x^2}{10^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$
এখানে $a^2 = 100 \implies a = 10$ এবং $b^2 = 25 \implies b = 5$। যেহেতু $a > b$,

উৎকেন্দ্রিকতা ($e$):
$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{100}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক:
$(\pm ae, 0) = \left(\pm 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) = (\pm 5\sqrt{3}, 0)$

উত্তর:
$p = 100$
উৎকেন্দ্রিকতা = $\frac{\sqrt{3}}{2}$
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = $(\pm 5\sqrt{3}, 0)$