গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ:
$3x + by + 1 = 0 \quad \text{... (i)}$
$ax + 6y + 1 = 0 \quad \text{... (ii)}$

যেহেতু রেখাদ্বয় $(5, 4)$ বিন্দুতে ছেদ করে, তাই বিন্দুটি উভয় রেখাকে সিদ্ধ করবে।

(i) নং সমীকরণে $(5, 4)$ বসিয়ে পাই:
$3(5) + b(4) + 1 = 0$
$\implies 15 + 4b + 1 = 0$
$\implies 4b = -16$
$\implies b = -4$

(ii) নং সমীকরণে $(5, 4)$ বসিয়ে পাই:
$a(5) + 6(4) + 1 = 0$
$\implies 5a + 24 + 1 = 0$
$\implies 5a = -25$
$\implies a = -5$

সুতরাং, রেখা দুটি হলো:
প্রথম রেখা: $3x - 4y + 1 = 0$
দ্বিতীয় রেখা: $-5x + 6y + 1 = 0$

প্রথম রেখাটি $x$-অক্ষকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে, তাই $y = 0$ বসিয়ে:
$3x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{3}$
$\therefore A \equiv \left(-\frac{1}{3}, 0\right)$

দ্বিতীয় রেখাটি $y$-অক্ষকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে, তাই $x = 0$ বসিয়ে:
$6y + 1 = 0 \implies y = -\frac{1}{6}$
$\therefore B \equiv \left(0, -\frac{1}{6}\right)$

এখন, $A\left(-\frac{1}{3}, 0\right)$ এবং $B\left(0, -\frac{1}{6}\right)$ বিন্দুগামী $AB$ সরলরেখার সমীকরণ:
$\frac{x}{-\frac{1}{3}} + \frac{y}{-\frac{1}{6}} = 1$
$\implies -3x - 6y = 1$
$\implies 3x + 6y + 1 = 0$

উত্তর: $a = -5$, $b = -4$ এবং $AB$ সরলরেখার সমীকরণ $3x + 6y + 1 = 0$