গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
cos x + cos y = a ... (i)
sin x + sin y = b ... (ii)

আমরা জানি,
cos x + cos y = 2 cos((x + y)/2) cos((x - y)/2)
sin x + sin y = 2 sin((x + y)/2) cos((x - y)/2)

অতএব,
2 cos((x + y)/2) cos((x - y)/2) = a ... (iii)
2 sin((x + y)/2) cos((x - y)/2) = b ... (iv)

(iv) নং সমীকরণকে (iii) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই:
[2 sin((x + y)/2) cos((x - y)/2)] / [2 cos((x + y)/2) cos((x - y)/2)] = b / a
⇒ tan((x + y)/2) = b / a

এখন, cos(x + y) কে tan-এর মাধ্যমে প্রকাশ করে পাই:
cos(x + y) = [1 - tan²((x + y)/2)] / [1 + tan²((x + y)/2)]
= [1 - (b/a)²] / [1 + (b/a)²]
= [(a² - b²) / a²] / [(a² + b²) / a²]
= (a² - b²) / (a² + b²)

∴ cos(x + y) = (a² - b²) / (a² + b²)