গণিত • BUET • বাংলাদেশ প্রকৌশল বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০১৯-২০২০

গণিত প্রশ্ন

11.

y=3x+6x2+10x3+…∞ y=3 x+6 x^{2}+10 x^{3}+\ldots \infty হলে দেখাও যে,x=13y−132⋅42!y2+1.4.733⋅3!y3−……… x=\frac{1}{3} y-\frac{1}{3^{2}} \cdot \frac{4}{2 !} y^{2}+\frac{1.4 .7}{3^{3} \cdot 3 !} y^{3}-\ldots \ldots \ldots

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
y=3x+6x2+10x3+…∞y = 3x + 6x^2 + 10x^3 + \dots \infty

উভয়পক্ষে 11 যোগ করে পাই,
1+y=1+3x+6x2+10x3+…1 + y = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \dots
বা, 1+y=1+3x+3⋅42!x2+3⋅4⋅53!x3+…1 + y = 1 + 3x + \frac{3 \cdot 4}{2!}x^2 + \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{3!}x^3 + \dots
আমরা জানি, (1−x)−3=1+3x+3⋅42!x2+3⋅4⋅53!x3+…(1 - x)^{-3} = 1 + 3x + \frac{3 \cdot 4}{2!}x^2 + \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{3!}x^3 + \dots
অতএব,
1+y=(1−x)−31 + y = (1 - x)^{-3}
  ⟹  (1−x)=(1+y)−13\implies (1 - x) = (1 + y)^{-\frac{1}{3}}
  ⟹  x=1−(1+y)−13\implies x = 1 - (1 + y)^{-\frac{1}{3}}

এখন, দ্বিপদী বিস্তৃতি অনুসারে:
(1+y)−13=1+(−13)y+(−13)(−13−1)2!y2+(−13)(−13−1)(−13−2)3!y3+…(1 + y)^{-\frac{1}{3}} = 1 + \left(-\frac{1}{3}\right)y + \frac{\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{3}-1\right)}{2!} y^2 + \frac{\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{3}-1\right)\left(-\frac{1}{3}-2\right)}{3!} y^3 + \dots
=1−13y+(−13)(−43)2!y2+(−13)(−43)(−73)3!y3+…= 1 - \frac{1}{3}y + \frac{\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{4}{3}\right)}{2!} y^2 + \frac{\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{4}{3}\right)\left(-\frac{7}{3}\right)}{3!} y^3 + \dots
=1−13y+132⋅42!y2−1⋅4⋅733⋅3!y3+…= 1 - \frac{1}{3}y + \frac{1}{3^2} \cdot \frac{4}{2!} y^2 - \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3^3 \cdot 3!} y^3 + \dots

অতএব,
x=1−(1−13y+132⋅42!y2−1⋅4⋅733⋅3!y3+… )x = 1 - \left( 1 - \frac{1}{3}y + \frac{1}{3^2} \cdot \frac{4}{2!} y^2 - \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3^3 \cdot 3!} y^3 + \dots \right)
  ⟹  x=13y−132⋅42!y2+1⋅4⋅733⋅3!y3−…∞\implies x = \frac{1}{3}y - \frac{1}{3^2} \cdot \frac{4}{2!} y^2 + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3^3 \cdot 3!} y^3 - \dots \infty
(দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন