গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, উপবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$।
দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র $S(0, 2)$, উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{1}{2}$ এবং নিয়ামক রেখা $M_1M_2 \equiv y + 4 = 0$।

কণিকের সংজ্ঞানুসারে,
$SP = e \cdot PM$
$\implies SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
$\implies (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{|y + 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2}}\right)^2$
$\implies x^2 + y^2 - 4y + 4 = \frac{1}{4}(y + 4)^2$
$\implies 4(x^2 + y^2 - 4y + 4) = y^2 + 8y + 16$
$\implies 4x^2 + 4y^2 - 16y + 16 = y^2 + 8y + 16$
$\implies 4x^2 + 3y^2 - 24y = 0$

সুতরাং উপবৃত্তটির সমীকরণ: $4x^2 + 3y^2 - 24y = 0$

উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
উপকেন্দ্র $S(0, 2)$ হতে নিয়ামক রেখা $y + 4 = 0$ এর লম্বদূরত্ব,
$d = \frac{|0 + 2 + 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = 6$

আমরা জানি, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= 2ed = 2 \times \frac{1}{2} \times 6 = 6$ একক।