গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

$y$ এর ঘাতের ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,
$(2y + 1)^{10} = (1 + 2y)^{10}$

দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে সাধারণ পদ:
$T_{k+1} = \binom{10}{k} 1^{10-k} (2y)^k = \binom{10}{k} 2^k y^k$

সুতরাং, $y^{r-1}$ এর সহগ:
$C_r = \binom{10}{r-1} 2^{r-1}$

একইভাবে, $r$ এর স্থলে $r+2$ বসালে পাই:
$C_{r+2} = \binom{10}{(r+2)-1} 2^{(r+2)-1} = \binom{10}{r+1} 2^{r+1}$

প্রশ্নমতে,
$C_{r+2} = 4 C_r$
$\implies \binom{10}{r+1} 2^{r+1} = 4 \cdot \binom{10}{r-1} 2^{r-1}$
$\implies \binom{10}{r+1} 2^{r+1} = 2^2 \cdot 2^{r-1} \binom{10}{r-1}$
$\implies \binom{10}{r+1} 2^{r+1} = 2^{r+1} \binom{10}{r-1}$
উভয়পক্ষকে $2^{r+1}$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\binom{10}{r+1} = \binom{10}{r-1}$

আমরা জানি, $\binom{n}{a} = \binom{n}{b}$ হলে $a = b$ অথবা $a + b = n$ হয়।
যেহেতু $r + 1 \neq r - 1$,
অতএব,
$(r + 1) + (r - 1) = 10$
$\implies 2r = 10$
$\implies r = 5$

সুতরাং, $r$ এর মান $5$।