পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব চলকের প্রতিটি সম্ভাব্য মান এবং তাদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে উক্ত দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৈব চলকের ভেদাঙ্ক কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, এটি সর্বদা অঋণাত্মক (বা ধনাত্মক)। কারণ কোনো দৈব চলকের মানগুলো থেকে তার গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধানের বর্গের প্রত্যাশাকে ভেদাঙ্ক বলে, অর্থাৎ $V(x) = E[x - E(x)]^2$। যেহেতু কোনো বাস্তব রাশির বর্গ কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না এবং সম্ভাবনাও অঋণাত্মক, তাই এদের গুণফলের সমষ্টি বা প্রত্যাশাও সর্বদা অঋণাত্মক অর্থাৎ $V(x) \ge 0$ হয়। সুতরাং প্রশ্নোক্ত উক্তিটি বা ভেদাঙ্ক ঋণাত্মক হওয়ার দাবিটি সঠিক নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা বিন্যাস:
   $x$ এর মানগুলো হলো $-2, -1, 0, 1, 2$ এবং সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনা $P(x)$ যথাক্রমে $\frac{1}{5}, \frac{1}{10}, \frac{3}{10}, \frac{3}{10}, \frac{1}{10}$।

   আমরা জানি,
   $E(x^2) = \sum x^2 \cdot P(x)$
   $= (-2)^2 \cdot \frac{1}{5} + (-1)^2 \cdot \frac{1}{10} + (0)^2 \cdot \frac{3}{10} + (1)^2 \cdot \frac{3}{10} + (2)^2 \cdot \frac{1}{10}$
   $= 4 \cdot \frac{2}{10} + 1 \cdot \frac{1}{10} + 0 \cdot \frac{3}{10} + 1 \cdot \frac{3}{10} + 4 \cdot \frac{1}{10}$
   $= \frac{8}{10} + \frac{1}{10} + 0 + \frac{3}{10} + \frac{4}{10}$
   $= \frac{8 + 1 + 3 + 4}{10} = \frac{16}{10} = 1.6$

   অতএব, নির্ণেয় $E(x^2) = 1.6$ বা $\frac{8}{5}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে শিলার বক্তব্যটি হলো: $E(2x^2) \neq V(x)$।

   'গ' হতে পাই,
   $E(x^2) = 1.6$

   এখন,
   $E(2x^2) = 2 \cdot E(x^2) = 2 \times 1.6 = 3.2$

   আবার, দৈব চলক $x$ এর গাণিতিক প্রত্যাশা:
   $E(x) = \sum x \cdot P(x)$
   $= (-2) \cdot \frac{1}{5} + (-1) \cdot \frac{1}{10} + 0 \cdot \frac{3}{10} + 1 \cdot \frac{3}{10} + 2 \cdot \frac{1}{10}$
   $= -\frac{4}{10} - \frac{1}{10} + 0 + \frac{3}{10} + \frac{2}{10}$
   $= \frac{-4 - 1 + 3 + 2}{10} = \frac{0}{10} = 0$

   চলক $x$ এর ভেদাঙ্ক:
   $V(x) = E(x^2) - [E(x)]^2$
   $= 1.6 - (0)^2 = 1.6$

   দেখা যাচ্ছে যে,
   $E(2x^2) = 3.2$ এবং $V(x) = 1.6$
   যেহেতু $3.2 \neq 1.6$, সেহেতু $E(2x^2) \neq V(x)$।

   অতএব, শিলার বক্তব্যটি যথার্থ ও সঠিক।