গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$y = 3x + 6x^2 + 10x^3 + \ldots \infty$
উভয়পক্ষে $1$ যোগ করে পাই,
$1 + y = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \ldots \infty$

আমরা জানি দ্বিপদী বিস্তৃতি অনুসারে,
$(1 - x)^{-3} = 1 + (-3)(-x) + \frac{(-3)(-4)}{2!} (-x)^2 + \frac{(-3)(-4)(-5)}{3!} (-x)^3 + \ldots$
$= 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \ldots$

অতএব,
$1 + y = (1 - x)^{-3}$
$\implies (1 - x) = (1 + y)^{-\frac{1}{3}}$

এখন ডানপক্ষকে দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে বিস্তৃত করে পাই,
$1 - x = 1 + \left(-\frac{1}{3}\right)y + \frac{\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{4}{3}\right)}{2!} y^2 + \frac{\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{4}{3}\right)\left(-\frac{7}{3}\right)}{3!} y^3 + \ldots$
$1 - x = 1 - \frac{1}{3}y + \frac{1 \cdot 4}{3^2 \cdot 2!}y^2 - \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3^3 \cdot 3!}y^3 + \ldots$

উভয়পক্ষ থেকে $1$ বাদ দিয়ে এবং $(-1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$x = \frac{1}{3}y - \frac{1}{3^2} \cdot \frac{4}{2!}y^2 + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3^3 \cdot 3!}y^3 - \ldots \infty$
(দেখানো হলো)