α এর কোন মানের জন্যে $l \left ( \alpha \right ) = \int_{0}^{1} \left ( x^{2} - \alpha \right )^{2} dx$ এর মান সর্বনিম্ন হবে?

Question

Accepted Answer

গ. 1/3

ব্যাখ্যা: $I(\alpha)=\int_0^1(x^4-2\alpha x^2+\alpha^2)dx=\frac15-\frac{2\alpha}{3}+\alpha^2$।

$I'(\alpha)=-\frac23+2\alpha=0\Rightarrow\alpha=\frac13$

$I''(\alpha)=2>0$, তাই $\alpha=\frac13$ এ মান সর্বনিম্ন।

**শর্টকাট:** $\alpha$ এর দ্বিঘাত রাশি $\alpha^2-\frac23\alpha+\dots$ এর সর্বনিম্ন মান $\alpha=-\frac{b}{2a}=\frac13$ এ।

**একই ধরনের প্রশ্ন:**
১. $\int_0^1(x-\alpha)^2dx$ সর্বনিম্ন হতে $\alpha$ কত?
*উত্তর:* $\frac12$

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন