গণিত • BUET • বাংলাদেশ প্রকৌশল বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০১৯-২০২০

গণিত প্রশ্ন

6.

Φ(x)=cot-1(1+x+x2) হলে, দেখাও যে Φ(2) +2Φ(1)=Φ(0)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
Φ(x)=cot⁡−1(1+x+x2)\Phi(x) = \cot^{-1}(1 + x + x^2)
=tan⁡−1(11+x(x+1))= \tan^{-1}\left(\frac{1}{1 + x(x+1)}\right)
=tan⁡−1((x+1)−x1+(x+1)x)= \tan^{-1}\left(\frac{(x+1) - x}{1 + (x+1)x}\right)
=tan⁡−1(x+1)−tan⁡−1(x)= \tan^{-1}(x+1) - \tan^{-1}(x)

অতএব,
Φ(0)=tan⁡−1(1)−tan⁡−1(0)=π4−0=π4\Phi(0) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}
Φ(1)=tan⁡−1(2)−tan⁡−1(1)\Phi(1) = \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)
Φ(2)=tan⁡−1(3)−tan⁡−1(2)\Phi(2) = \tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)

বামপক্ষ =Φ(2)+2Φ(1)= \Phi(2) + 2\Phi(1)
=[tan⁡−1(3)−tan⁡−1(2)]+2[tan⁡−1(2)−tan⁡−1(1)]= [\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)] + 2[\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)]
=tan⁡−1(3)+tan⁡−1(2)−2tan⁡−1(1)= \tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(2) - 2\tan^{-1}(1)

যেহেতু 3×2=6>13 \times 2 = 6 > 1,
tan⁡−1(3)+tan⁡−1(2)=π+tan⁡−1(3+21−3⋅2)=π+tan⁡−1(−1)=π−π4=3π4\tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(2) = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{3+2}{1 - 3 \cdot 2}\right) = \pi + \tan^{-1}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}

আবার, 2tan⁡−1(1)=2⋅π4=π22\tan^{-1}(1) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

∴বামপক্ষ=3π4−π2=π4\therefore \text{বামপক্ষ} = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}

ডানপক্ষ =Φ(0)=π4= \Phi(0) = \frac{\pi}{4}

অতএব, Φ(2)+2Φ(1)=Φ(0)\Phi(2) + 2\Phi(1) = \Phi(0) (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন