পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব চলকের প্রতিটি সম্ভাব্য মান এবং তাদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে উক্ত দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বলে। বিচ্ছিন্ন দৈব চলক X এর ক্ষেত্রে, E(X) = Σ x·P(X = x)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   'V(3) = E(3)' এটি সম্ভব নয়।

   ব্যাখ্যা: আমরা জানি, কোনো ধ্রুবক মানের ভেদাঙ্ক শূন্য হয়। অর্থাৎ, যেকোনো ধ্রুবক c এর জন্য V(c) = 0। সুতরাং, V(3) = 0।
   অন্যদিকে, কোনো ধ্রুবক মানের গাণিতিক প্রত্যাশা উক্ত ধ্রুবকটির সমান হয়। অর্থাৎ, E(c) = c। সুতরাং, E(3) = 3।

   যেহেতু V(3) = 0 এবং E(3) = 3, তাই V(3) ≠ E(3)। অতএব, 'V(3) = E(3)' সম্পর্কটি সম্ভব নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, ক্রমযোজিত সম্ভাবনা অপেক্ষক F(y) = P(Y ≤ y)।

   উদ্দীপক হতে পাই,
   F(2) = P(Y ≤ 2)
   = P(y = -3) + P(y = -2) + P(y = -1) + P(y = 0) + P(y = 1) + P(y = 2)
   = 0.1 + 0.15 + 0.1 + 0.4 + 0.2 + 0.05 = 1.00

   এবং,
   F(-2) = P(Y ≤ -2)
   = P(y = -3) + P(y = -2)
   = 0.1 + 0.15 = 0.25

   অতএব,
   F(2) - F(-2) = 1.00 - 0.25 = 0.75।

   উত্তর: 0.75

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের সম্ভাবনা বিন্যাস থেকে,

   E(y) = ∑ y·P(y)
   = (-3 × 0.1) + (-2 × 0.15) + (-1 × 0.1) + (0 × 0.4) + (1 × 0.2) + (2 × 0.05)
   = -0.3 - 0.3 - 0.1 + 0 + 0.2 + 0.1
   = -0.4

   আবার,
   E(y²) = ∑ y²·P(y)
   = (-3)² × 0.1 + (-2)² × 0.15 + (-1)² × 0.1 + (0)² × 0.4 + (1)² × 0.2 + (2)² × 0.05
   = (9 × 0.1) + (4 × 0.15) + (1 × 0.1) + 0 + (1 × 0.2) + (4 × 0.05)
   = 0.9 + 0.6 + 0.1 + 0.2 + 0.2
   = 2.0

   এখন, y এর ভেদাঙ্ক,
   V(y) = E(y²) - [E(y)]²
   = 2.0 - (-0.4)²
   = 2.0 - 0.16
   = 1.84

   দেখা যাচ্ছে যে,
   E(y²) = 2.0 এবং V(y) = 1.84
   যেহেতু 2.0 > 1.84, সেহেতু E(y²) > V(y)।

   মন্তব্য: উদ্দীপকের সম্ভাবনা বিন্যাস অনুযায়ী E(y²) > V(y) সম্পর্কটি সঠিক এবং যাচাইকৃত হলো।