গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² - 6x - 4y - 7 = 0

(1, -2) বিন্দুতে উক্ত বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ:
x(1) + y(-2) - 3(x + 1) - 2(y - 2) - 7 = 0
⇒ x - 2y - 3x - 3 - 2y + 4 - 7 = 0
⇒ -2x - 4y - 6 = 0
⇒ x + 2y + 3 = 0 ... (i)

ধরি, নির্ণেয় বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ... (ii)
যার কেন্দ্র (-g, -f)।

যেহেতু বৃত্তটির কেন্দ্র (i) নং রেখার উপর অবস্থিত:
-g + 2(-f) + 3 = 0
⇒ g + 2f = 3 ... (iii)

আবার, বৃত্তটি (-1, -1) বিন্দুগামী:
(-1)² + (-1)² + 2g(-1) + 2f(-1) + c = 0
⇒ 2 - 2g - 2f + c = 0 ... (iv)

বৃত্তটি (3, 2) বিন্দুগামী:
(3)² + (2)² + 2g(3) + 2f(2) + c = 0
⇒ 13 + 6g + 4f + c = 0 ... (v)

সমীকরণ (v) থেকে (iv) বিয়োগ করে পাই:
(13 - 2) + (6g - (-2g)) + (4f - (-2f)) = 0
⇒ 11 + 8g + 6f = 0 ... (vi)

সমীকরণ (iii) থেকে g = 3 - 2f এর মান (vi) নং-এ বসিয়ে পাই:
11 + 8(3 - 2f) + 6f = 0
⇒ 11 + 24 - 16f + 6f = 0
⇒ 35 - 10f = 0
⇒ f = 35/10 = 7/2

∴ g = 3 - 2(7/2) = 3 - 7 = -4

এখন, (iv) নং সমীকরণে g ও f এর মান বসিয়ে c এর মান নির্ণয় করি:
2 - 2(-4) - 2(7/2) + c = 0
⇒ 2 + 8 - 7 + c = 0
⇒ 3 + c = 0
⇒ c = -3

অতএব, নির্ণেয় বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² + 2(-4)x + 2(7/2)y - 3 = 0
⇒ x² + y² - 8x + 7y - 3 = 0