পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নির্দিষ্ট সময় বা স্থানে বিরল ঘটনা ঘটার সংখ্যা নির্দেশক বিচ্ছিন্ন দৈব চলককে পৈঁসু চলক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পৈঁসু বিন্যাসের একমাত্র পরামিতি হলো $\lambda$, যা বিন্যাসটির গড়কে নির্দেশ করে (অর্থাৎ $E(X) = \lambda$) এবং এর মান $\lambda = np$।
   পৈঁসু বিন্যাসে চেষ্টার সংখ্যা $n$ অত্যন্ত বৃহৎ অর্থাৎ $n \to \infty$ (ধনাত্মক অসীম) এবং কোনো ঘটনার অনুকূল সম্ভাবনা $p$ অত্যন্ত ক্ষুদ্র অর্থাৎ $p \to 0$ ($p > 0$)।
   যেহেতু ঘটনা ঘটার সংখ্যা বা চেষ্টার সংখ্যা $n$ ধনাত্মক এবং কোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা $p$ একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ, তাই এদের গুণফল $\lambda = np$ সর্বদা একটি সসীম ও ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা হয় ($\lambda > 0$)। অতএব, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি সর্বদা ধনাত্মক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   মাসে সড়ক দুর্ঘটনায় মৃত্যুর গড় সংখ্যা, $\lambda = 3$
   যেহেতু সড়ক দুর্ঘটনায় মৃত্যুর সংখ্যা $X$ একটি পৈঁসু চলক, এর সম্ভাবনা অপেক্ষক হলো:
   $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}; \quad x = 0, 1, 2, \dots$

   আমাদের নির্ণয় করতে হবে $P(X \geq 1)$:
   $P(X \geq 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0)$

   এখন,
   $P(X = 0) = \frac{e^{-3} \cdot 3^0}{0!} = \frac{e^{-3} \cdot 1}{1} = e^{-3} \approx 0.049787$

   অতএব,
   $P(X \geq 1) = 1 - 0.049787 = 0.950213 \approx 0.9502$

   সুতরাং, $P(X \geq 1)$ এর মান প্রায় $0.9502$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$
   যেখানে $\lambda = 3$ এবং $e^{-3} \approx 0.049787$

   $P(X = 2)$ নির্ণয়:
   $P(X = 2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!} = \frac{0.049787 \times 9}{2} = \frac{0.448083}{2} \approx 0.22404$

   $P(X = 3)$ নির্ণয়:
   $P(X = 3) = \frac{e^{-3} \cdot 3^3}{3!} = \frac{0.049787 \times 27}{6} = \frac{1.344249}{6} \approx 0.22404$

   সম্ভাবনাদ্বয়ের মধ্যে সম্পর্ক ব্যাখ্যা:
   দেখা যাচ্ছে যে,
   $P(X = 2) = P(X = 3) = \frac{9}{2} e^{-3} \approx 0.2240$
   অর্থাৎ, $P(X = 2) = P(X = 3)$।

   পৈঁসু বিন্যাসের ক্ষেত্রে আমরা জানি যে, যখন পরামিতি $\lambda$ একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তখন বিন্যাসটি দ্বি-প্রচুরকবিশিষ্ট (bimodal) হয় এবং প্রচুরক দুটি হয় $(\lambda - 1)$ ও $\lambda$।
   এখানে $\lambda = 3$ একটি পূর্ণসংখ্যা হওয়ায় প্রচুরক দুটি হলো $3 - 1 = 2$ এবং $3$। ফলে $x = 2$ এবং $x = 3$ বিন্দুতে সম্ভাবনা সমান এবং এই দুটিই বিন্যাসের সর্বোচ্চ সম্ভাবনা নির্দেশ করে।