গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত ফাংশন:
$f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{2x}{x+1}\right)$

ডোমেন নির্ণয়:
$\cos^{-1}(u)$ ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে যদি $-1 \le u \le 1$ হয় এবং হর $x+1 \neq 0$ অর্থাৎ $x \neq -1$ হয়।
অতএব,
$-1 \le \frac{2x}{x+1} \le 1$

প্রথম অংশ:
$\frac{2x}{x+1} \ge -1$
$\implies \frac{2x}{x+1} + 1 \ge 0$
$\implies \frac{3x+1}{x+1} \ge 0$
$\implies (3x+1)(x+1) \ge 0$ এবং $x \neq -1$
$\implies x < -1$ অথবা $x \ge -\frac{1}{3}$ ... (১)

দ্বিতীয় অংশ:
$\frac{2x}{x+1} \le 1$
$\implies \frac{2x}{x+1} - 1 \le 0$
$\implies \frac{x-1}{x+1} \le 0$
$\implies (x-1)(x+1) \le 0$ এবং $x \neq -1$
$\implies -1 < x \le 1$ ... (২)

(১) ও (২) এর সাধারণ মান (Intersection) নিয়ে পাই:
$-\frac{1}{3} \le x \le 1$

সুতরাং, ফাংশনটির ডোমেন $= \left[-\frac{1}{3}, 1\right]$

রেঞ্জ নির্ণয়:
যেহেতু $x \in \left[-\frac{1}{3}, 1\right]$ এর জন্য $u = \frac{2x}{x+1}$ এর মান $[-1, 1]$ এর প্রতিটি মান গ্রহণ করে,
এবং $\cos^{-1}(u)$ এর সংজ্ঞায়িত মুখ্য মানের সীমা $[0, \pi]$,
অতএব, ফাংশনটির রেঞ্জ $= [0, \pi]$।