গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ:
$2x - y - 8 = 0 \quad \text{--- (1)}$
এবং প্রদত্ত বিন্দু $P(-3, 6)$।

লম্ব দূরত্ব নির্ণয়:
$P(-3, 6)$ বিন্দু হতে (1) নং রেখার লম্ব দূরত্ব,
$d = \frac{|2(-3) - 1(6) - 8|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-6 - 6 - 8|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-20|}{\sqrt{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}\text{ একক}$

লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়:
(1) নং রেখার লম্ব রেখার সমীকরণ:
$x + 2y + k = 0 \quad \text{--- (2)}$
যেহেতু লম্ব রেখাটি $(-3, 6)$ বিন্দুগামী,
$-3 + 2(6) + k = 0 \implies -3 + 12 + k = 0 \implies k = -9$

সুতরাং লম্ব রেখার সমীকরণ:
$x + 2y - 9 = 0 \implies x = 9 - 2y$

$x$-এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$2(9 - 2y) - y - 8 = 0$
$\implies 18 - 4y - y - 8 = 0$
$\implies 10 - 5y = 0$
$\implies 5y = 10 \implies y = 2$

$y$-এর মান বসালে,
$x = 9 - 2(2) = 5$

অতএব, লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(5, 2)$ এবং লম্ব দূরত্ব $4\sqrt{5}\text{ একক}$।