গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি,
$I = \int_{-1}^{1} x^2 \sqrt{4 - x^2} \, dx$

এখানে, $f(x) = x^2 \sqrt{4 - x^2}$ একটি যুগ্ম (even) ফাংশন, কারণ $f(-x) = (-x)^2 \sqrt{4 - (-x)^2} = f(x)$।
$\therefore I = 2 \int_{0}^{1} x^2 \sqrt{4 - x^2} \, dx$

ধরি, $x = 2\sin\theta$
$\implies dx = 2\cos\theta \, d\theta$

সীমা পরিবর্তন:
যখন $x = 0$, তখন $\theta = 0$
যখন $x = 1$, তখন $2\sin\theta = 1 \implies \theta = \frac{\pi}{6}$

সুতরাং,
$I = 2 \int_{0}^{\pi/6} (4\sin^2\theta) \cdot (2\cos\theta) \cdot (2\cos\theta \, d\theta)$
$= 32 \int_{0}^{\pi/6} \sin^2\theta \cos^2\theta \, d\theta$
$= 8 \int_{0}^{\pi/6} (2\sin\theta\cos\theta)^2 \, d\theta$
$= 8 \int_{0}^{\pi/6} \sin^2(2\theta) \, d\theta$
$= 4 \int_{0}^{\pi/6} (1 - \cos 4\theta) \, d\theta$
$= 4 \left[ \theta - \frac{\sin 4\theta}{4} \right]_{0}^{\pi/6}$
$= 4 \left[ \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sin(2\pi/3)}{4}\right) - 0 \right]$
$= \frac{2\pi}{3} - \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$
$= \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

অতএব, নির্ণেয় মান $\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$।