গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ভেক্টর তিনটি সমতলীয় (coplanar) হওয়ার শর্তানুসারে,

$[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -4 \\ 1 & \lambda & 3 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow 1(0 + 4\lambda) - 1(6 + 4) + 1(2\lambda - 0) = 0$
$\Rightarrow 4\lambda - 10 + 2\lambda = 0$
$\Rightarrow 6\lambda = 10$
$\Rightarrow \lambda = \frac{5}{3}$

অতএব, $\lambda = \frac{5}{3}$ এর জন্য ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হবে।

এখন, প্রদত্ত ভেক্টরত্রয়ের সমতলের উপর লম্ব একটি ভেক্টর হবে $\vec{a} \times \vec{b}$:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -4 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-4 - 0) - \hat{j}(-4 - 2) + \hat{k}(0 - 2) = -4\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$

এই ভেক্টরের মান:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

সুতরাং, সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর:
$\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{-4\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}}{2\sqrt{14}} = \pm \frac{-2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{14}}$