গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, ধারাটির যোগফল S = 1 + 3/4 + (3·5)/(4·8) + (3·5·7)/(4·8·12) + … ∞

আমরা জানি,
(1 - x)^(-n) = 1 + nx + {n(n+1)/2!} x^2 + {n(n+1)(n+2)/3!} x^3 + …

উভয় পাশের পদ তুলনা করে পাই:
nx = 3/4 ... (i)
{n(n+1)/2} x^2 = (3·5)/(4·8) = 15/32 ... (ii)

(ii) নং সমীকরণকে (i) নং সমীকরণের বর্গ দ্বারা ভাগ করে পাই:
[{n(n+1)/2} x^2] / (n^2 x^2) = (15/32) / (9/16)
বা, (n + 1)/(2n) = (15/32) × (16/9) = 5/6
বা, 6n + 6 = 10n
বা, 4n = 6
বা, n = 3/2

n এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
(3/2) x = 3/4
বা, x = 1/2

যেহেতু |x| = 1/2 < 1, সুতরাং ধারাটি অভিসারী।

অতএব, নির্ণেয় সমষ্টি:
S = (1 - x)^(-n)
= (1 - 1/2)^(-3/2)
= (1/2)^(-3/2)
= 2^(3/2)
= 2√2

উত্তর: 2√2