গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণসমূহ:
১. $y^2 = x$
২. $y = x - 2 \implies x = y + 2$
৩. $x = 1$

প্যারাবোলা $y^2 = x$ এবং সরলরেখা $y = x - 2$-এর ছেদবিন্দু নির্ণয়:
$y^2 = y + 2$
$\implies y^2 - y - 2 = 0$
$\implies (y - 2)(y + 1) = 0$
$\implies y = 2$ অথবা $y = -1$

$y = 2$ হলে, $x = 4$ এবং $y = -1$ হলে, $x = 1$।
ছেদবিন্দু দুটি হলো $(4, 2)$ এবং $(1, -1)$।

দেখা যাচ্ছে যে, $x = 1$ বিন্দুতে সরলরেখা $y = x - 2$ এবং প্যারাবোলা $y^2 = x$ এর নিচের অংশ পরস্পর মিলিত হয়।
অতএব, $x = 1$ হতে $x = 4$ সীমার মধ্যে আবদ্ধ অঞ্চলের উপরস্থ বক্ররেখা $y = \sqrt{x}$ এবং নিম্নস্থ রেখা $y = x - 2$।

সুতরাং, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
$A = \int_{1}^{4} \left(\sqrt{x} - (x - 2)\right) dx$
$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{1}^{4}$
$= \left( \frac{2}{3}(4)^{3/2} - \frac{4^2}{2} + 2(4) \right) - \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1^2}{2} + 2(1) \right)$
$= \left( \frac{2}{3} \cdot 8 - 8 + 8 \right) - \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right)$
$= \frac{16}{3} - \left( \frac{4 - 3 + 12}{6} \right)$
$= \frac{16}{3} - \frac{13}{6} = \frac{32 - 13}{6} = \frac{19}{6} \text{ বর্গ একক}$

উত্তর: $\frac{19}{6}$ বর্গ একক।