গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$f\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = x+2$

ধরি, $y = \frac{1-x}{1+x}$
$\Rightarrow y(1+x) = 1-x$
$\Rightarrow y + xy = 1 - x$
$\Rightarrow x(1+y) = 1 - y$
$\Rightarrow x = \frac{1-y}{1+y}$ (যেখানে $y \neq -1$)

মান বসিয়ে পাই,
$f(y) = \frac{1-y}{1+y} + 2 = \frac{1-y+2+2y}{1+y} = \frac{y+3}{1+y}$

$\therefore f(x) = \frac{x+3}{x+1}$

এখন, বিপরীত ফাংশন $f^{-1}(x)$ নির্ণয়:
ধরি, $z = f(x)$
$\Rightarrow z = \frac{x+3}{x+1}$
$\Rightarrow z(x+1) = x+3$
$\Rightarrow zx + z = x + 3$
$\Rightarrow zx - x = 3 - z$
$\Rightarrow x(z-1) = 3-z$
$\Rightarrow x = \frac{3-z}{z-1}$
$\Rightarrow f^{-1}(z) = \frac{3-z}{z-1}$

$\therefore f^{-1}(x) = \frac{3-x}{x-1}$

ডোমেন ও রেঞ্জ:
$f^{-1}(x)$ এর হর $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$\therefore \text{Domain of } f^{-1} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$

আবার, $y = \frac{3-x}{x-1} \implies yx - y = 3 - x \implies x(y+1) = y+3 \implies x = \frac{y+3}{y+1}$
এখানে $y + 1 \neq 0 \implies y \neq -1$
$\therefore \text{Range of } f^{-1} = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$