গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রমাণ:
দেওয়া আছে,
$y = \left(x + \sqrt{1+x^2}\right)^m$
$x$-এর সাপেক্ষে ব্যবকলন করে পাই,
$\frac{dy}{dx} = m \left(x + \sqrt{1+x^2}\right)^{m-1} \frac{d}{dx}\left(x + \sqrt{1+x^2}\right)$
$\implies y_1 = m \left(x + \sqrt{1+x^2}\right)^{m-1} \left(1 + \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}\right)$
$\implies y_1 = m \left(x + \sqrt{1+x^2}\right)^{m-1} \left(\frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$
$\implies y_1 = \frac{m\left(x + \sqrt{1+x^2}\right)^m}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{my}{\sqrt{1+x^2}}$
$\implies \sqrt{1+x^2}\, y_1 = my$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$(1+x^2) y_1^2 = m^2 y^2$
পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে ব্যবকলন করে পাই,
$2x y_1^2 + (1+x^2) \cdot 2y_1 y_2 = m^2 \cdot 2y y_1$
উভয়পক্ষকে $2y_1$ দ্বারা ভাগ করে,
$(1+x^2) y_2 + x y_1 - m^2 y = 0$
$\therefore (1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} - m^2y = 0 \quad \text{(প্রমাণিত)}$

মান নির্ণয়:
প্রাপ্ত সমীকরণকে পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{d}{dx}\left[(1+x^2) y_2\right] + \frac{d}{dx}[x y_1] - m^2 y_1 = 0$
$\implies (1+x^2)y_3 + 2x y_2 + x y_2 + y_1 - m^2 y_1 = 0$
$\implies (1+x^2)y_3 + 3x y_2 + (1-m^2)y_1 = 0$

$x = 0$ বিন্দুতে,
$y(0) = (0 + 1)^m = 1$
$y_1(0) = \frac{m \cdot y(0)}{\sqrt{1+0^2}} = m$
অতএব, $x=0$ বসিয়ে পাই,
$(1+0) y_3(0) + 3(0)y_2(0) + (1-m^2)y_1(0) = 0$
$\implies y_3(0) + (1-m^2)m = 0$
$\implies y_3(0) = m(m^2-1) = m^3 - m$

উত্তর: $\frac{d^3y}{dx^3}\Big|_{x=0} = m(m^2 - 1)$ বা $m^3 - m$