গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$\cos \alpha + \sec \alpha = \frac{5}{2}$

বা, $\cos \alpha + \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{5}{2}$

বা, $\frac{\cos^2 \alpha + 1}{\cos \alpha} = \frac{5}{2}$

বা, $2\cos^2 \alpha + 2 = 5\cos \alpha$

বা, $2\cos^2 \alpha - 5\cos \alpha + 2 = 0$

বা, $2\cos^2 \alpha - 4\cos \alpha - \cos \alpha + 2 = 0$

বা, $2\cos \alpha(\cos \alpha - 2) - 1(\cos \alpha - 2) = 0$

বা, $(2\cos \alpha - 1)(\cos \alpha - 2) = 0$

কিন্তু বাস্তব কোণ $\alpha$-এর জন্য $-1 \le \cos \alpha \le 1$, সুতরাং $\cos \alpha \neq 2$।

অতএব, $2\cos \alpha - 1 = 0 \implies \cos \alpha = \frac{1}{2}$
এবং $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = 2$

এখন,
$\cos^n \alpha + \sec^n \alpha = \left(\frac{1}{2}\right)^n + 2^n = \frac{1}{2^n} + 2^n$ বা $2^{-n} + 2^n$

নির্ণেয় মান: $2^n + \frac{1}{2^n}$।