গণিত প্রশ্ন

AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

স্পষ্ট অনুমান: প্রশ্নটিতে 'ছেদবিন্দু গামী' পদটি মুদ্রণপ্রমাদ এবং এর প্রকৃত অর্থ প্রদত্ত অবস্থান ভেক্টরদ্বয় নির্দেশিত বিন্দু দুটির 'সংযোজক' সরলরেখা। | প্রদত্ত ভেক্টর দুটি হলো সরলরেখার ওপর অবস্থিত দুটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর: $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ এবং $\vec{b} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$।

ধরি, প্রদত্ত বিন্দু দুটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে:
$\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
এবং $\vec{b} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$

সরলরেখাটির দিক নির্দেশক ভেক্টর:
$\vec{d} = \vec{b} - \vec{a} = (2-3)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$

বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ:
$\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$, যেখানে $t$ একটি বাস্তব স্কেলার।
$\therefore \vec{r} = (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$
[অথবা, $(\vec{r} - \vec{a}) \times \vec{d} = \vec{0} \implies [\vec{r} - (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})] \times (-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = \vec{0}$]

কার্তেসীয় আকারে:
$\frac{x-3}{-1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{-2}$ বা $\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-1}{2}$