গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
$x^2 + y^2 = 3^2$
যার কেন্দ্র $C_1(0, 0)$ এবং ব্যাসার্ধ $r_1 = 3$

নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র $C_2(3, 4)$।
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,
$d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$

ধরি, নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_2$।

ক্ষেত্র ১: বৃত্তদ্বয় বহিঃস্পর্শ করলে:
$d = r_1 + r_2$
$\Rightarrow 5 = 3 + r_2$
$\Rightarrow r_2 = 2$

সুতরাং বৃত্তটির সমীকরণ:
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 2^2$
$\Rightarrow x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 4$
$\Rightarrow x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0$

ক্ষেত্র ২: বৃত্তদ্বয় অন্তঃস্পর্শ করলে:
$d = |r_2 - r_1|$
যেহেতু $d = 5 > r_1 = 3$, তাই নির্ণেয় বৃত্তটি প্রদত্ত বৃত্তকে নিজের ভেতরে ধারণ করে অন্তঃস্পর্শ করবে, অর্থাৎ:
$r_2 - r_1 = d$
$\Rightarrow r_2 - 3 = 5$
$\Rightarrow r_2 = 8$

সুতরাং বৃত্তটির সমীকরণ:
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 8^2$
$\Rightarrow x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 64$
$\Rightarrow x^2 + y^2 - 6x - 8y - 39 = 0$

উত্তর: নির্ণেয় বৃত্ত দুইটির সমীকরণ হলো $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0$ এবং $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 39 = 0$।