গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$f(x) = \sqrt{x + 2}$
$g(x) = \ln(1 - x^2)$

সংযোজিত ফাংশন $(g \circ f)(x)$ নির্ণয়:
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\sqrt{x + 2})$
$= \ln(1 - (\sqrt{x + 2})^2)$
$= \ln(1 - (x + 2))$
$= \ln(-x - 1)$

ডোমেন নির্ণয়:
সংযোজিত ফাংশন $(g \circ f)(x)$ সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য:
১) $f(x)$ বাস্তব হতে হবে:
$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$

২) $g(f(x))$ এর জন্য লগের ভেতরের রাশিটি ধনাত্মক হতে হবে:
$1 - (x + 2) > 0$
$\Rightarrow -x - 1 > 0$
$\Rightarrow x < -1$

উভয় শর্তের সাধারণ ব্যবধি:
$-2 \le x < -1$

অতএব, $(g \circ f)(x) = \ln(-x - 1)$ এবং এর ডোমেন $D_{g \circ f} = [-2, -1)$ বা $\{x \in \mathbb{R} : -2 \le x < -1\}$।