গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, অধিবৃত্তের উপর যেকোনো একটি বিন্দু $P(x, y)$।
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র $S = (1, 2)$
উৎকেন্দ্রিকতা $e = 2\sqrt{2}$
দিকাক্ষের সমীকরণ: $x + 2y - 1 = 0$

অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
$SP = e \cdot PM$
বা, $SP^2 = e^2 \cdot PM^2$

এখানে,
$SP^2 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2$
$PM = \left|\frac{x + 2y - 1}{\sqrt{1^2 + 2^2}}\right| = \left|\frac{x + 2y - 1}{\sqrt{5}}\right|$

সুতরাং,
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (2\sqrt{2})^2 \cdot \frac{(x + 2y - 1)^2}{5}$
$\Rightarrow x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 8 \cdot \frac{x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y}{5}$
$\Rightarrow 5(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5) = 8(x^2 + 4xy + 4y^2 - 2x - 4y + 1)$
$\Rightarrow 5x^2 + 5y^2 - 10x - 20y + 25 = 8x^2 + 32xy + 32y^2 - 16x - 32y + 8$
$\Rightarrow 3x^2 + 32xy + 27y^2 - 6x - 12y - 17 = 0$

উত্তর: নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ $3x^2 + 32xy + 27y^2 - 6x - 12y - 17 = 0$।