গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^2}$

$= \lim_{x \to 0} \left[ \frac{e^{x^2} - 1 + 1 - \cos x}{x^2} \right]$

$= \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{x^2} + \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

$= 1 + \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2}$

$= 1 + 2 \cdot \frac{1}{4} \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2$

$= 1 + \frac{1}{2} (1)^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

(বিকল্প পদ্ধতি: L'Hôpital's Rule প্রয়োগ করে:
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} \cdot 2x + \sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( e^{x^2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin x}{x} \right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$)

উত্তর: $\frac{3}{2}$