গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 3 & 2 \end{bmatrix}), (C = \begin{bmatrix} -2 & 1 \ 5 & -2 \end{bmatrix}) এবং (ABC = \begin{bmatrix} -2 & 4 \ 3 & -1 \end{bmatrix})

আমরা জানি, (B = A^{-1} (ABC) C^{-1})

এখানে,
(\det(A) = (2)(2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1)
(\therefore A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -1 \ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \ -3 & 2 \end{bmatrix})

(\det(C) = (-2)(-2) - (1)(5) = 4 - 5 = -1)
(\therefore C^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -2 & -1 \ -5 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 5 & 2 \end{bmatrix})

এখন,
(A^{-1} (ABC) = \begin{bmatrix} 2 & -1 \ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 4 \ 3 & -1 \end{bmatrix})
(= \begin{bmatrix} 2(-2) + (-1)(3) & 2(4) + (-1)(-1) \ -3(-2) + 2(3) & -3(4) + 2(-1) \end{bmatrix})
(= \begin{bmatrix} -7 & 9 \ 12 & -14 \end{bmatrix})

সুতরাং,
(B = [A^{-1} (ABC)] C^{-1} = \begin{bmatrix} -7 & 9 \ 12 & -14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 5 & 2 \end{bmatrix})
(= \begin{bmatrix} -7(2) + 9(5) & -7(1) + 9(2) \ 12(2) + (-14)(5) & 12(1) + (-14)(2) \end{bmatrix})
(= \begin{bmatrix} -14 + 45 & -7 + 18 \ 24 - 70 & 12 - 28 \end{bmatrix})
(= \begin{bmatrix} 31 & 11 \ -46 & -16 \end{bmatrix})

(\therefore B = \begin{bmatrix} 31 & 11 \ -46 & -16 \end{bmatrix})