গণিত • BUET • বাংলাদেশ প্রকৌশল বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০১৭-২০১৮

গণিত প্রশ্ন

4.

যদি  reiθ=3+2i2+3i+1+5i1−2i r e^{i \theta} = \frac{3 + 2 i}{2 + 3 i} + \frac{1 + 5 i}{1 - 2 i} হয়, তবে r ও θ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
reiθ=3+2i2+3i+1+5i1−2ir e^{i\theta} = \frac{3 + 2i}{2 + 3i} + \frac{1 + 5i}{1 - 2i}

এখানে,
3+2i2+3i=(3+2i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=6−9i+4i+64+9=12−5i13\frac{3 + 2i}{2 + 3i} = \frac{(3 + 2i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{6 - 9i + 4i + 6}{4 + 9} = \frac{12 - 5i}{13}

এবং
1+5i1−2i=(1+5i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=1+2i+5i−101+4=−9+7i5\frac{1 + 5i}{1 - 2i} = \frac{(1 + 5i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{1 + 2i + 5i - 10}{1 + 4} = \frac{-9 + 7i}{5}

সুতরাং,
reiθ=12−5i13+−9+7i5r e^{i\theta} = \frac{12 - 5i}{13} + \frac{-9 + 7i}{5}
=(1213−95)+i(−513+75)= \left(\frac{12}{13} - \frac{9}{5}\right) + i\left(-\frac{5}{13} + \frac{7}{5}\right)
=60−11765+i−25+9165=−5765+6665i= \frac{60 - 117}{65} + i\frac{-25 + 91}{65} = -\frac{57}{65} + \frac{66}{65}i

অতএব,
r=∣reiθ∣=(−5765)2+(6665)2=3249+435665=760565=39565=355=35r = |r e^{i\theta}| = \sqrt{\left(-\frac{57}{65}\right)^2 + \left(\frac{66}{65}\right)^2} = \frac{\sqrt{3249 + 4356}}{65} = \frac{\sqrt{7605}}{65} = \frac{39\sqrt{5}}{65} = \frac{3\sqrt{5}}{5} = \frac{3}{\sqrt{5}}

যেহেতু বাস্তব অংশ ঋণাত্মক এবং কাল্পনিক অংশ ধনাত্মক, সংখ্যাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত:
θ=π−tan⁡−1∣66/65−57/65∣=π−tan⁡−1(2219)≈2.283 rad (বা 130.8∘)\theta = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{66/65}{-57/65}\right| = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{22}{19}\right) \approx 2.283 \text{ rad (বা } 130.8^{\circ}\text{)}

উত্তর: r=35r = \frac{3}{\sqrt{5}} এবং θ=π−tan⁡−1(2219)\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{22}{19}\right)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন