গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ:
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \quad \dots (1)$

বৃত্তটি $A(5, 3)$, $B(2, 0)$ এবং $C(1, 1)$ বিন্দুগামী।
$B(2, 0)$ বিন্দুর জন্য:
$4 + 0 + 4g + c = 0 \implies 4g + c = -4 \quad \dots (2)$
$C(1, 1)$ বিন্দুর জন্য:
$1 + 1 + 2g + 2f + c = 0 \implies 2g + 2f + c = -2 \quad \dots (3)$
$A(5, 3)$ বিন্দুর জন্য:
$25 + 9 + 10g + 6f + c = 0 \implies 10g + 6f + c = -34 \quad \dots (4)$

(3) হতে (2) বিয়োগ করে পাই,
$-2g + 2f = 2 \implies -g + f = 1 \implies f = g + 1 \quad \dots (5)$
(4) হতে (2) বিয়োগ করে পাই,
$6g + 6f = -30 \implies g + f = -5 \quad \dots (6)$

(5) ও (6) যোগ করে পাই,
$2f = -4 \implies f = -1$
$g = -5 - f = -5 - (-1) = -4$

(2) নং হতে,
$4(-4) + c = -4 \implies c = 12$

সুতরাং বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g, -f) = (4, 1)$।

[যাচাই:
$B(2,0)$ থেকে দূরত্ব: $(2-4)^2 + (0-1)^2 = 4 + 1 = 5$
$C(1,1)$ থেকে দূরত্ব: $(1-4)^2 + (1-1)^2 = 9 + 0 = 9 \neq 5$
বিকল্প সমাধান:
$AB$ এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক:
মধ্যবিন্দু = $(7/2, 3/2)$, ঢাল $m_{AB} = \frac{3-0}{5-2} = 1$। লম্ব ঢাল = $-1$।
সমীকরণ: $y - 3/2 = -1(x - 7/2) \implies x + y = 5$
$BC$ এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক:
মধ্যবিন্দু = $(3/2, 1/2)$, ঢাল $m_{BC} = \frac{1-0}{1-2} = -1$। লম্ব ঢাল = $1$।
সমীকরণ: $y - 1/2 = 1(x - 3/2) \implies x - y = 1$
ছেদবিন্দু (কেন্দ্র):
যোগ করে, $2x = 6 \implies x = 3$
$y = 5 - 3 = 2$
সুতরাং বৃত্তের কেন্দ্র $(3, 2)$।

তাহলে বৃত্তের কেন্দ্র $O = (3, 2)$।

ত্রিভুজ $ABC$-এর ভরকেন্দ্র,
$G = \left(\frac{5 + 2 + 1}{3}, \frac{3 + 0 + 1}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}\right)$

বৃত্তের কেন্দ্র ও ত্রিভুজ $ABC$ এর ভরকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব:
$d = \sqrt{\left(3 - \frac{8}{3}\right)^2 + \left(2 - \frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \text{ একক}$

উত্তর: $\frac{\sqrt{5}}{3}$ একক।