গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

'HIPPOPOTAMUS' শব্দটিতে মোট ১২টি বর্ণ আছে।

স্বরবর্ণ (Vowels) রয়েছে ৪টি: I, O, A, U (সবগুলো ভিন্ন)।
ব্যঞ্জনবর্ণ (Consonants) রয়েছে ৮টি (P, P, P, H, T, M, S):

• P রয়েছে ৩টি
• H, T, M, S রয়েছে ১টি করে
  অর্থাৎ ভিন্ন ধরনের ব্যঞ্জনবর্ণ রয়েছে ৫টি {P, H, T, M, S}।

যেহেতু স্বরবর্ণটি সবসময় ৩ অক্ষরের শব্দের মাঝখানে থাকবে, তাই স্বরবর্ণের অবস্থান নির্দিষ্ট (১টি উপায়)।
৪টি স্বরবর্ণ থেকে ১টি স্বরবর্ণ বাছাইয়ের উপায় = $^4C_1 = 4$ টি।

ব্যঞ্জনবর্ণ দুটি দুই পাশে বসবে। ব্যঞ্জনবর্ণ নির্বাচনের দুটি ক্ষেত্র হতে পারে:

ক্ষেত্র-১: ২টি ব্যঞ্জনবর্ণই একই ধরনের (অর্থাৎ উভয়ই P):

• ব্যঞ্জনবর্ণ দুটি হবে P ও P: বাছাইয়ের উপায় = $1$ টি।
• এদের দুই পাশে সাজানোর উপায় = $\frac{2!}{2!} = 1$ টি।
• সুতরাং, এই ক্ষেত্রে গঠিত শব্দ সংখ্যা = $4 \times 1 \times 1 = 4$ টি।

ক্ষেত্র-২: ২টি ব্যঞ্জনবর্ণ ভিন্ন ধরনের:

• ৫টি ভিন্ন ব্যঞ্জনবর্ণ {P, H, T, M, S} থেকে ২টি বাছাইয়ের উপায় = $^5C_2 = 10$ টি।
• এদের দুই পাশে সাজানোর উপায় = $2! = 2$ টি।
• সুতরাং, এই ক্ষেত্রে গঠিত শব্দ সংখ্যা = $4 \times 10 \times 2 = 80$ টি।

অতএব, মোট শব্দ সংখ্যা = $4 + 80 = 84$ টি।